対称性の解決可能なモデル

Scientific Reports volume 13、記事番号: 13768 (2023) この記事を引用

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3 オルトメトリック

メトリクスの詳細

解析的に解決可能なモデルは、相転移とパターン形成分岐の研究におけるベンチマークです。このようなモデルは、均一媒質における第 2 種の相転移については知られていますが、局在状態 (ソリトン) については知られていません。これは、ソリトンを生成する可積分方程式では固有の転移が認められないためです。我々は、デルタ関数の対称ペアで表される、線形非線形の結合二重井戸ポテンシャルに固定されたソリトンの第 1 種と第 2 種の両方の対称性を破る相転移 (別名、亜臨界分岐および超臨界分岐) の可解モデルを導入します。非線形性の自己集束と非集束の両方の兆候が考慮されます。前者の場合、対称および非対称ソリトンに対して正確な解が生成されます。これらの解は、第 1 種と第 2 種の対称破れ遷移 (つまり、それぞれ亜臨界分岐と超臨界分岐) 間の切り替えを明示的に示しています。自己焦点ぼけモデルでは、この解は、最初の励起状態の非対称性を破る第 2 種の遷移を示します。

物理システムにおける集団励起のダイナミクスは、基礎となる回折または分散、場または波動関数の非線形自己相互作用、および場に作用するポテンシャルの相互作用によって決定されます。これに関連して、線形システムの基底状態 (GS) は基礎となるポテンシャルの対称性を再現する一方、励起状態は同じ対称性の他の表現を実現する可能性があることが一般に知られています 1。特に、対称二重井戸ポテンシャル (DWP) にトラップされた粒子の波動関数は偶数ですが、最初の励起状態は奇数です。

これらの基本的な特性は線形シュレディンガー方程式によって示されますが、ボースアインシュタイン凝縮体 (BEC) の動力学は、平均場近似において、粒子間の相互作用を考慮したグロスピタエフスキー方程式 (GPE) によって支配されます。単一粒子の波動関数のシュレディンガー方程式の三次項2,3。反発相互作用または引力相互作用は、自己焦点ぼけ (SDF) 記号または自己焦点焦点 (SF) 記号を使用した 3 次項で表されます。本質的に同じモデルは、有名な非線形シュレディンガー方程式 (NLSE) です。これは、非線形媒体 4 における光波の伝播を支配し、弱い回折または分散と 3 次 SF 非線形性の相互作用を支配する普遍的なモデルとして、他にも多くの実現を見出しています 5 。光学において、トラッピングポテンシャルに相当するのは、屈折率の横方向プロファイルによって引き起こされる導波路構造を説明する NLSE の用語です。

DWP と SF 非線形性を組み合わせたモデルの GS 構造は、弱非線形領域でのみ基礎となるポテンシャルの対称性に従います。 SF 非線形性の強度の増加に伴って発生する一般的な効果は、対称性を破る相転移であり、これにより、DWP6 の 2 つのウェルに関して GS が非対称になります。自発的対称性の破れ (SSB) のこの効果は、とりわけ、GS は縮退できない 1 という一般的に知られている量子力学の原理が、非線形モデルではもはや有効ではないことを意味します。明らかに、SSB は縮退を引き起こします。 2 つの相互に対称な GS のペア。波動関数の最大値は、基礎となる DWP の左または右のポテンシャル井戸に固定されます。同じ系は対称状態と非対称状態の共存を認めますが、SSB 点より上では GS を表さず、対称性を破る摂動に対して不安定になります。

非線形性の SDF 符号を持つ系では、GS は対称性と安定性を保ちますが、SSB 遷移は最初の励起状態の非対称性を破ります (これは空間的に奇数であり、中心に位置する波動関数のゼロが正確に 1 つあります)。ポイント）。反対称性が自然に破れた状態はゼロ点を保持し、中心から右または左にシフトします。

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>